[선형대수] 일차연립방정식

방통대 선형대수 강의를 듣고 공부 내용을 정리한 글입니다.

 

선형대수 도입

•  수학
  • 해석학(Calculus) - 미분/적분
  • 대수학(Algebra) 
  • 기하학(Geometry)
• 대수학
  
  • 대수학(代數學)에서 대(代)는 대신한다는 의미
  • 수를 대신한다 = 미지수 -> 결국 방정식
  • 방정식에 관련해서 해를 구하는 방법들
• 선형대수(線形代數 : Linear Algebra)
  • 선형대수는 대수학의 일종
  • Linear는 선의 모양 -> 결국은 일차방정식에 대한 것
  • 기본 주제 : 일차연립방정식의 해법
  • 다양한 수학적 도구
    • 행렬 - 일차연립방정식을 달리 표현하면 행렬로도 표현. 로보틱스에도 사용됨
    • 벡터공간 - 벡터들의 집합에 덧셈과 곱셈이 들어가있는 집합
    • 선형변환 등등 - 선형변환의 대표적인 예가 컴퓨터그래픽스, 이미지 프로세싱에서 사용됨
• 수학의 표현 방법
  • 정의(definition) : 약속
  • 정리(theorem) : 성질
  • 증명(proof) : 정리가 참인 것을 밝힘(논리 연습)
• 강의 구성
  • 1부 일차연립방정식과 행렬
    • 1강 일차연립방정식
    • 2강 행렬과 가우스소거법
    • 3강 행렬연산
    • 4강 역행렬
    • 5강 행렬식
    • 6강 크래머 공식과 역행렬
  • 2부 벡터공간과 선형변환
    • 7강 평면벡터와 공간벡터
    • 8강 벡터공간
    • 9강 기저와 차원
    • 10강 선형변환
    • 11강 선형변환과 행렬
  • 3부 고유값 문제와 벡터의 직교성
    • 12강 고유값과 고유벡터
    • 13강 행렬의 대각화
    • 14강 직교벡터
    • 15강 직교화과정과 최소자승법

 

일차연립방정식

•  ax = b
  • a : 계수(coefficient)
  • x : 미지수(unknown)
  • b : 상수(constant)
  • 해=근(solution)
    
    • x에 넣어줬을 때 만족되는 값
  • a≠0인 경우
    • 유일한 해 존재
  • a=0, b=0인 경우
    • 부정 : 해가 너무 많아서 정할 수 없음
  • a=0, b≠0인 경우
    • 불능 : 해가 존재하지 않음
• n원 일차연립방정식
  • 미지수가 n개인 일차방정식들을 유한개 묶어놓은 것
  • 예시) 3원 일차연립방정식
    • ax + by + cz = k 형태의 일차방정식들이 여러 개 있음
    • 이 모든 일차연립방정식을 다 만족하는 x, y, z 값들 = 해 
      • 이 때의 x, y, z를 순서쌍 (s1, s2, s3)로 나타낼 수 있고 이것이 해(근)가 됨
• 소거법
  • 미지수를 하나씩 없애감 
  • 다음 3가지 연산을 이용 -> 주어진 연립방정식이 동일한 해집합을 가지면서 보다 풀기 쉬운 형태의 연립방정식으로 바뀜
    1. 두 방정식을 교환한다 (방정식의 내용은 그대로고 위치만 바꾸면 동일함)
    2. 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다 (하나의 방정식을 선택해서 좌변과 우변에 0이 아닌 상수를 곱하는 것)
    3. 한 방정식에 임의의 상수를 곱해서 다른 방정식을 더함 (좁은 의미의 소거법)
  • 위의 3가지 연산은 방정식에 관한 3가지 기본 연산
• 기하학적 설명
  • 함수의 형태로 바꾸고 그래프를 그려서 만나는 점을 통해 해를 구한다